理系の雑学・豆知識

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バネの直列接続

まずは直列接続と並列接続のイメージからお話しましょう。私の観点からいくと

図20:直列のイメージ

図21:並列のイメージ

直列とは図20のように、回路(道)に沿って進んでいくと、ずっとまっすぐに進めるタイプの接続で、並列とは図21のように途中で二股に分かれていてどちらに行くか悩むタイプの接続になります。このイメージの利用に関してましては、また電気の回路に関する説明をするときにご説明いたします。

 バネの直列接続と合成

バネ定数が k1 [N/m]のバネ1と k2[N/m]のバネ2とを直列接続してみます。そうすると図22のようになりますね。

 

図 22: 2本のバネを直列接続

これを

 

図 23: 2本のバネを合成したと考える

のように一つのバネとして考えてみたいわけです。これを教科書等では公式として、合成バネ定数 K[N/m]は

 

と表しますよね。しかしこれでは何が何やらわからないわけです。どうして?という疑問を持ちながら、「しかしまぁそう覚えろってことね」という妥協点を見つけて覚えている方がほとんどでしょう。ですが、そこで考えてみましょう。どうしてこういう公式になるんだろうと…。

 公式の導出

まずはその2つが直列接続されたバネを先ほどと同様、少女に力$ F$[N]で引いてもらいましょう。

 

図 24: 2本のバネを直列にして引く

この状態でバネ1とバネ2にはどのような力が働いているかわかりますか?もちろん

 

図 25: バネ1、バネ2に働く力

 

のようになりますね。それぞれのバネには1巻きで考えたときと同じようにそれぞれの両端に、バネを伸ばす方向へ F[N]の力が発生します。ということはバネ1、バネ2のバネ中のそれぞれ1巻きにおいても同様に力 F[N]が両端にかかりますね。

 

図 26: 1巻きのバネにかかる力

ですから、結局バネ1やバネ2が単独で$ F$[N]をかけられたのと同じだけ伸びるわけです。

 

図 27: それぞれのバネの伸び

これを式にしてみましょう。

 バネ1とバネ2の伸びを合わせたトータルの伸び x totalは

ですね。ここでバネ1、バネ2をもともと1本のバネだったと考えて1本に図23のように合成するんでした。

 

図 27(b): 直列バネの合成

このときバネの伸び$ x totalは合成バネのバネ定数を K[N/m]として

 

 (11)

と表されます。この式(11)は式(10)と同値ですので、つまり

 

(12)

となりました。これでバネを直列接続したときは合成バネ定数 K[N/m]が式(12)のように表されることは納得してもらえたと思います。