理系の雑学・豆知識

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正五角形の書き方とその証明

正五角形の書き方を紹介します。

書き方1

まず円1を書きます。その円の中心を通る直線を描きます。

その直線を4等分し、そこに直径が下の円の半径の円を二つ書きます。(円2、円3)

最初の直線に対し垂直二等分線を引き 垂直二等分線と円との交点を中心にして二つの円と接する円4を書く

仮面ライダーみたいな顔が出てきましたが、気にすることなく次に進みます。

円4と円1の交点の長さをコンパスでとり、それぞれの交点から円を2個書く。

同じ長さのコンパスを用いて新しい交点からもう一度円を書く。

交点をすべて結んで完成

書き方2

まずある長さの線分(線1)を引きます。

その垂直二等分線(線2)を始めの線分と同じ長さだけ引きます。

次に線1の端から線2の先に向かって直線(線3)を引きます。

線1の半分の長さをコンパスで計りとり、線2の先から円を書きます。

 


次に先ほど書いた円と線3との交点と線1の端との長さをコンパスで測りとり、線1の端を中心に円を書きます

また、線1の長さをコンパスで測りとり両端を中心に2個の円を描きます。

最後にすべての円の交点を結んで完成

書き方3

円を書き、その円の直径を書きます。

次に円と直径の交点から円の中心までの距離の円を書きます。

先ほどの円と最初の円の交点2点を結びます。

その直線と円の直径との交点を中心として、円の一番上の部分を通る円を書きます。

今書いた円と直径との交点を通り、円の一番上を中心とする円を書きます。この円の長さが正五角形の一辺になります。

新しくできた点を中心として、同じ長さの半径を持つ円を書きます。始めの円との交点をとります

もう一つ同じ長さで点を取って、5つの点を結んで完成です。

正五角形の書き方の証明

こんな書き方で大体正五角形になっているけど本当に正五角形かどうかはわかりませんよね?ってことで証明を作りました。

手順1:正五角形の一辺と対角線がすべて黄金比になっていることを証明する

ちょっと遠回りになりますが、今回の証明ではまず正五角形の一辺と対角線がすべて黄金比になっていることを証明しなくてはなりません。

 

正五角形の一辺を1、対角線の長さをLとする。

つまりAB=BC=CD=DE=EA=1

DA=DB=EC=L

次に右下の図において赤色、青色、緑色のすべての辺の組はそれぞれが平行になっているので、四辺形EGBAとFCBAはともに平行四辺形である。

ここで平行四辺形FCBAに注目すると、

BA=FC=1となる。

よってEF=EC-FC=L-1

同様にGC=EF

またFG=EC-EF-GC=L-2×(L-1)

よってFG=2-L

ここで⊿EAFと⊿FDGにおいて

右上図の青線の錯角が2個あるので

⊿EAF∽⊿FDG

ここで左図の赤線と青線の比は同じなので

赤:青=1:L-1=L-1:2-L
     (⊿EAF)  (⊿FDG)

これを計算すると

(L-1)2=2-L

L2-2L+1=2-L

L2-L-1=0

これを解くと

ということで正五角形の一辺と対角線の辺の比が黄金比になります。

手順2:黄金比を使って今回の書き方が正五角形になっていることを証明する

上で見たように、赤色の線と青色の線の比は

となります。

つまり二つの辺の長さの比が

となる二等辺三角形を書くことができたら。 正五角形を書けることになります。

それではそれぞれの書き方について証明していきます。

 書き方1

 

①小さいほうの円の半径を1大きい円の半径を2とします。緑色の直線の長さをxとすると三平方の定理より

となり緑の線は√5だとわかります。

②小さいほうの円が1だということから茶色の直線の長さは√5-1になります。

下の円は茶色の線を半径にして書いた 円なので、図のように下のほうも√5-1になります。

茶色と青色の線の比は√5-1:2となっているので

となります。よってこの2本は黄金比になっています。

③⊿dacと⊿oabの相似を証明します。

⊿dacは図形の対称性より明らかに二等辺三角形である‥‥①

⊿oabは円の半径を2辺とする三角形なので 同様に二等辺三角形である‥‥②

同一の弧から作られる角なので∠aob=∠cobとなる‥‥③

円周角の性質より

∠adc=(∠aob+∠cob)÷2‥‥④

③④より∠adc=∠aob‥‥⑤

①②⑤より三角形の一つの角とそれをはさむ二つの辺の比が それぞれ等しいので

⊿dac∽⊿oabとなる。

ここで三角形の対応する辺の比はそれぞれ等しいので

直線ad:ac= 

となる。これで対角線と一辺が黄金比になっていると証明できたので作図でできた五角形が正五角形であると解かる。

書き方2

①始めの直線の長さを2とします。

垂直二等分線を引いたので、赤色の線は1になります。

②垂直に立てた線に向かって直線を引いたので三平方の定理より

そこからさらに1の長さをとりました。

 

③その長さは√5+1となります。 この長さを対角線になるように図形を作図していきます。

これで五角形の一辺と対角線の比は2:√5+1 となるのでとなり、黄金比になることがわかった。よって正五角形が作られていることがわかる。