理系の雑学・豆知識

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単純な定積分の例を紹介

[1] ∫1e dx/x = [log x]1e = log e - log 1 = 1 - 0 = 1.

[2] ∫12 3xdx = ∫12 ex log 3dx = [3x/log 3]12 = (9 - 3)/log 3 = 6/log 3.

[3] ∫0π cos x dx = [sin x]0π = sin π - sin 0 = 0 - 0 = 0.
実はこの積分は y = cos x のグラフをみると, 0 ≦ x ≦ π/2 の部分と, π/2 ≦ x ≦ π の部分とで相殺しあって 0 になるということがすぐに分かる。

[4] ∫0π |cos x| dx = ∫0π/2 |cos x| dx + ∫π/2π |cos x| dx
= ∫0π/2 cos x dx - ∫π/2π cos x dx = [sin x]0π/2 - [sin x]π/2π 
= sin π/2 - sin 0 - (sin π - sin π/2) = 1 - 0 - (0 - 1) = 2.
これも graph が分かれば, 与式 = 2∫0π/2 cos x dx となることが分かって, 簡単である。

[5] ∫0π/2 sin x dx = [-cos x]0π/2 = -cos π/2 + cos 0 = -0 + 1 = 1.

[6] ∫0π/2 sin2 x dx (二倍角の公式 cos 2x = 1 - 2 sin2x より)
= (1/2)∫0π/2 (1 - cos 2x) dx = (1/2)[x - (1/2)sin 2x]0π/2
= (1/2) *1 = π/4.

[7] ∫0π/2 cos2 x dx (二倍角の公式 cos 2x = 2 cos2x - 1 より)
= (1/2)∫0π/2 (1 + cos 2x) dx = (1/2)[x + (1/2)sin 2x]0π/2
= (1/2) *2 = π/4.
これも graph を描けば, [6] と値が一致するのは一目瞭然である。

[8]

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[9]

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[10]

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以下の三つの例では m, n は自然数とする。(こちらを参照のこと)

[11] ∫0 cos mx cos nx dx

  1. m = n の時
    与式 = (1/2)∫0 (1+ cos 2nx) dx = (1/2)[x + (1/(2n)) sin 2nx]0
    =(1/2((2π - 0) + (1/(2n))sin 4nπ - sin 0)) = π.
  2. m ≠ n の時

    f:id:BNB:20190331224106g:plain

[12] ∫0 sin m x sin nx dx

これも [11] と同様に, m = n の時, π に等しく, それ以外の時は 0 に等しくなる。

[13] ∫0 sin m x cos nx dx = 0. (途中経過省略)

上記の三つは Fourier 級数 (フーリエ級数) というものの基本になっている。

[14]

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ここでは黙って半角の公式と, graph の対称性を用いている。

*1:π/2 - 0) - (1/2)(sin π - sin 0

*2:π/2 - 0) + (1/2)(sin π - sin 0