理系の雑学・豆知識

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二項係数の公式を簡単に解説

先ず階乗から。

0! = 1, 1! = 1, 2! = 1×2 = 2, 3! = 1×2×3 = 6, ......

というように, n > 0 が自然数のとき,

n! = n×(n-1)!

と決め, これを n の階乗 (factorial) という。 n! は n が少し大きくなるだけで, 驚くほど大きくなる。


これを用いて

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と定義し, これを二項係数 binomial coefficient という。 記号 C は組み合わせ combination という意味である。

公式:

(1) nCn = nC0 = 1.
(2) nC1 = n.
(3) nCr = nCn-r.
(4) nCr + nCr-1 = n+1Cr. (この公式はパスカルの三角形と関係している)

(1) -- (3) の証明は ! で書いた定義に代入すればすぐ得られるので省略。

(4) の証明:

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これに意味をつければつけられないわけではないが, 意味をつけると却って分かりにくいと思われるので省略 (笑)。