理系の雑学・豆知識

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部分積分法のやり方を簡単に解説してみた

積の微分公式 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) を思い出していただいて, これを用いて微分形式を考えましょう。 ここでは (x) が面倒なので f(x) と書かずに, 只単に f と書くことにします。 そうすると

d(fg) = (fg)'dx = (f'g + fg')dx = f'gdx + fg'dx … (1)

となりますね。

これに積分記号をつければ

∫(fg)'dx = ∫f'gdx + ∫fg'dx

となりますが, 左辺は微分と積分が逆演算であることから (積分定数は無視して)

fg = ∫f'gdx + ∫fg'dx

となります。 普通, 右辺の第二項を移項して, 左辺と右辺を入れ替えて

∫fg'dx = fg - ∫f'gdx

という公式を作り, これを部分積分法 integration by parts といいます。

式 (1) に於いて右辺を更に計算すると

d(fg) = f'dx・g + f・g'dx = (df)・g + f・(dg)

ですから結局 f・(dg) = d(fg) - (df)・g. 即ち

∫f・(dg) = fg - ∫(df)・g

となります。 普通の数学の専門家はこの形で書きます。 実際は, 当然積の微分公式から作るわけです。

式を見てお分かりの通り, ψ(x) = g'(x) とすれば, g(x) = ∫ψ(x) dx ですから, 部分積分法の公式は

∫fψ dx = f∫ψ dx - ∫f'(∫ψ dx )dx

となるわけで, 全体の積分をする為に, 積の因子の一部分だけを積分していることになるわけです。 それで部分積分と呼ばれるわけなのです。

ところで, 積分定数のことが気になりませんか ? 上記で ∫ψ(x) dx = g(x) + C と積分定数付で書くと,

右辺 = f(g + C) - ∫f'(g + C) dx = fg + fC - ∫(f'g + f'C)dx
= fg + fC - ∫f'g dx - ∫f'Cdx = fg + fC - ∫f'g dx - fC = fg - ∫f'g dx

ですから, g' の積分に関しては問題ありませんね。 全体の積分に関しては, 左辺にも右辺にもまだ ∫ がついていますから, それらから出てくると思えば良いわけです。


部分積分法の例:

(1) ∫xex dx = ∫x dex = xex - ∫dx・ex = xex - ∫exdx = xex - ex + C
= (x - 1)ex + C, C は積分定数。

(2) 上記の積分を x = log t と置き直すと dx = dt/t だから

左辺 = ∫(log t)t・dt/t = ∫log t dt, 右辺 = (log t - 1)t + C = t log t - t + C.

だから ∫log t dt = t log t - t + C, C は積分定数, となるわけだが, 通常これは部分積分として, 次のように行う:

∫log t dt = (log t)t - ∫(d log t)t = t log t - ∫(dt/t)t = t log t - ∫dt
= t log t - t + C, C は積分定数。

(3) ∫x sin x dx = ∫x d(-cos x) = -x cos x - ∫dx・(- cos x)
= -x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x + C, C は積分定数。

(4) ∫x2ex dx = ∫x2dex = x2ex - ∫(dx2)ex = x2ex - ∫2xdx・ex
= x2ex - 2∫xexdx = x2ex - 2∫xex dx  = x2ex - 2(∫x dex)
= x2ex - 2(xex - ∫dx・ex) = x2ex - 2(xex - ∫exdx) = x2ex - 2(xex - ex) + C
= (x2 - 2x + 2)ex + C, C は積分定数。

この例のように, 部分積分を何度も繰り返さなければならないことがある。

又この例は (x2 - 2x + 2)ex = (x2 -(x2)' + (x2)'')ex となっていることに注目してもらう。

すると次の例が思いつく。

(5) f(x) を n 次多項式とする。

∫f(x)exdx = ∫f(x)d(ex) = f(x)ex - ∫f'(x)exdx = f(x)ex - ∫f'(x)d(ex)
= f(x)ex - (f'(x)ex - ∫f''(x)exdx) = f(x)ex - f'(x)ex + ∫f''(x)exdx
= f(x)ex - f'(x)ex + ∫f''(x)d(ex) = f(x)ex - f'(x)ex + (f''(x)ex - ∫f'''(x)exdx)
= f(x)ex - f'(x)ex + f''(x)ex + ∫f'''(x)exdx = … …
= (f(x) - f'(x) + f''(x) - f'''(x) + …… + (-1)nf(n)(x))ex + C, C は積分定数。

(6) 同様にして f(x) が n 次多項式ならば

∫f(x)e-xdx = -e-x(f(x) + f'(x) + …… + f(n)(x)) + C, C は積分定数。

(7) I = ∫epx cos qx dx, J = ∫epx sin qx dx, p, q は定数。

I = (1/q)∫epx d(sin qx) = (1/q)epx sin qx - (p/q)∫epx sin qx dx
= (1/q)epx sin qx - (p/q)J,

又同様に,

J = -(1/q)∫epx d(cos qx) = -(1/q)epx cos qx + (p/q)I.

従って

qI + pJ = epx sin qx,
pI - qJ = epx cos qx.

この連立方程式を解くと

f:id:BNB:20190331222421g:plain

勿論例えば I を単独で計算できる。つまり, I の式に J を代入すると

I = (1/q)epx sin qx - (p/q)J = (1/q)epx sin qx - (p/q)(-(1/q)epx cos qx + (p/q)I)
= (1/q)epx sin qx + (p/q2)epx cos qx - (p2/q2)I

即ち, 両辺を q2 倍して

q2I = qepx sin qx + pepx cos qx - p2I.
∴ (p2 + q2)I = epx (q sin qx + p cos qx) + C, &c.

実は, Taylor 展開のところでかなりいいかげんにやった Euler の公式を用いると

I + iJ = ∫epx cos qx dx + i∫epx sin qx dx
= ∫epx (cos qx + i sin qx) dx = ∫epx eiqx dx
= ∫e(p + iq)x dx
= e(p + iq)x / (p + iq) + C.

積分定数以外のところを良く見てみると --- あとで複素数についてちゃんとやらないといけないことがこれでよく分かった (^_^;; とりあえず, 下記では i2 = -1 という定義しか使ってない ---

f:id:BNB:20190331222443g:plain

この最後の部分の i のついていない方 (前の項) が I であり, ついている方 (後の項) が iJ である。

このように, 実は i の出現しない積分でも, i が出てくる世界 (複素数の世界) 迄広げて考えると, 計算が非常に楽になる場合が多い。 それが解析函数の世界なのである。

(7) 函数 f, g の第 n 階までの微分が連続であるならば, 部分積分法を何度も用いて

∫fg(n) dx = fg(n-1) - ∫f'g(n-1) dx
= fg(n-1) - f'g(n-2) + ∫f''g(n-2) dx = … …
= fg(n-1) - f'g(n-2) + f''g(n-3) - … … (-1)n-1f(n-1)g + (-1)n∫f(n)g dx.

区間 [a, b] で, f(x) の第 n 階までの微分が連続として, 上記の式で g = (b - x)n-1 と置くと, 定積分は, 微分積分学の基本定理によってできるので

 ∫ab (b - x)n-1f(n)(x) dx
= [(b - x)n-1f(n-1)(x) + (n-1)(b - x)n-2f(n-2)(x) + … … + (n-1)!(b - x)f'(x) + (n-1)! f(x)]ab

を得る。 右辺で x = b になる項が沢山あるので, それを消して, 「f(b) =」 の形に書き直すと

f:id:BNB:20190331222509g:plain

となる。 これが Taylor の定理のもう一つの形である。

最後の剰余項 (積分のついている項) に (まだ言及していない) 積分の平均値の第一定理の拡張を用いて, 以前に述べた Roche-Schömilch の剰余項を求めることができるが, 肝心の積分の第一平均値定理を述べてないので省略する --- あとでやるかもしれない。


部分積分法の公式

∫fg'dx = fg - ∫f'gdx

について, 熊ノ郷準氏は次のように説明したそうである:

左辺の g についている 「微分」 (') の責任を相手 (f) に押しつけた為に, 罰 (- マイナス) を受け, おつり (fg) も出てくる。