理系の雑学・豆知識

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対数法則とその証明を簡単に解説してみた

以下底に関しては底に関する条件, 真数に関しては真数に関する条件が成立するとする。

  1. loga (MN) = loga M + loga N.
  2. loga (M/N) = loga M - loga N.
  3. p loga M = loga Mp.
  4. [底の変換公式]f:id:BNB:20190331221931g:plain

これらの公式は, 対数法則と呼ばれている。 対数函数は指数函数の逆函数だから, 全て指数法則を対数の言葉に翻訳したものである。

[証明]

1. x = loga (MN) と置く。 定義より ax = MN. 一方 y = loga M, z = loga N と各々置くと, 定義から ay = M, az = N. 従って, ax = MN = ayaz = ay+z. 即ち x = y + z. x, y, z を元に戻せば対数法則になっている。

2. は 1. と同様。 (練習問題)

3. x = loga M と置くと定義から ax = M. 従って Mp = (ax)p = apx. この両辺の a を底とする対数を採って, x を元に戻せば対数法則になっている。

4. この公式を直接証明する代わりに

logb a loga M = logb M

の形で証明する。 x = logb a loga M = logb M と置くと,

f:id:BNB:20190331221952g:plain

であるから結局

f:id:BNB:20190331222010g:plain

を証明すればよい。 さてここで (lhs とは左辺 left hand side, rhs とは右辺 right hand side のこと)

f:id:BNB:20190331222039g:plain

別の証明を発見したので, そちらも紹介する。

先ず x = loga M と置こう。 定義から ax = M である。 3 ではここで a を底にして対数をとったが, その代わりに b を底として対数をとる。 すると

logb ax = logb M.

ここで対数法則の 3 から x logb a = logb M. ここで a は底だから 1 ではないので, logb a も 0 ではない。 よって両辺をこれで割ればよい。