理系の雑学・豆知識

物理、化学、生物、数学、地学、宇宙についての雑学・うんちく・豆知識・トリビアを集めたサイトです。気になった記事や文章を個人のメモとして投稿しています

2019-03-31から1日間の記事一覧

極限の計算・挟み撃ちについて解説

所謂受験数学で 「挟み撃ち」 という名称を用いている。 私の友人 (出題側) は 「挟み撃ちを入学試験に出していいんだったら, どんな難しい極限の計算だって出せるので汚い」 と言っていた。 つまり, 挟み撃ちを使う問題は (誘導があるとはいえ) かなり難し…

内積を変えない行列について紹介

この page に於いては係数体 (その成分が値を採っても良い範囲) は R である。 即ち A = (ajk) とするとき ajk ∈ R である (何故こんなことを断るかというと, 普通 C の時は内積の定義が違うからである)。 行列の積のところで書いたように行ベクトルと列ベク…

単純な定積分の例を紹介

[1] ∫1e dx/x = [log x]1e = log e - log 1 = 1 - 0 = 1. [2] ∫12 3xdx = ∫12 ex log 3dx = [3x/log 3]12 = (9 - 3)/log 3 = 6/log 3. [3] ∫0π cos x dx = [sin x]0π = sin π - sin 0 = 0 - 0 = 0.実はこの積分は y = cos x のグラフをみると, 0 ≦ x ≦ π/2 …

行ベクトルと列ベクトルについて分かりやすく解説

二種類の行列 A = (a11 a12), B = を考えよう。 先ず A = (a11 a12) と同じ style (つまり行が一つ, 列が二つの行列) の行列全体も行列の一種であるから, 和と差, 実数倍が定義される。 従ってこのようなものは (平面の) vectors と同じ (唯真ん中に "," が…

三角不等式の証明を簡単に解説

|x| - |y| ≦ |x + y| ≦ |x| + |y|. 解析学で出て来る, 有用な不等式。 [証明] [I] |x| - |y| ≦ |x + y| 0 ≦ |x| < |y| の時 |x| - |y| < 0 < |x + y| なので明らか。 |x| ≧ |y| ≧ 0 の時 |x| - |y| ≧ 0, |x + y| ≧ 0 より |x + y|2 - (|x| - |y|)2 = x2 + 2x…

集合と論理記号について簡単に解説

[集合と要素] 或る定まった条件 (数学的条件と思っていて良い) を満たすものの全体というものを考え, それを集合 set という。 そして, 集合に含まれる個々のもの, 集合を構成している一つ一つのものをその集合の要素 element という。 集合は普通英大文字で…

論理記号の読み方と, 集合の記号の読み方

正しいか正しくないかが数学的にはっきり分かる言明を 「命題 proposition」という。 正しい命題は真 true であると言われ, 正しくない命題は偽 false であると言われる。 例えば 1 < 3 は真である命題であり, 1 = 2 は偽である命題である。 又 「1 は美しい…

二項係数の公式を簡単に解説

先ず階乗から。 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1×2 = 2, 3! = 1×2×3 = 6, ...... というように, n > 0 が自然数のとき, n! = n×(n-1)! と決め, これを n の階乗 (factorial) という。 n! は n が少し大きくなるだけで, 驚くほど大きくなる。 これを用いて と定義し, …

部分積分法のやり方を簡単に解説してみた

積の微分公式 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) を思い出していただいて, これを用いて微分形式を考えましょう。 ここでは (x) が面倒なので f(x) と書かずに, 只単に f と書くことにします。 そうすると d(fg) = (fg)'dx = (f'g + fg')dx = f'gdx + fg'…

対数法則とその証明を簡単に解説してみた

以下底に関しては底に関する条件, 真数に関しては真数に関する条件が成立するとする。 loga (MN) = loga M + loga N. loga (M/N) = loga M - loga N. p loga M = loga Mp. [底の変換公式] これらの公式は, 対数法則と呼ばれている。 対数函数は指数函数の逆…

三角函数(関数)の加法公式とその周辺を簡単に解説してみた

三角函数の加法公式 (或いは加法定理) と呼ばれるものは次の 6 つである --- 勿論正割, 余割, 余接の各函数に関しても, 加法公式は存在するが, 普通使わないので, ここには書かない。 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,sin(α - β) = sin α cos β - co…

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因数定理・剰余定理

多項式 P(x) を x - a (a は定数) で割ったとしよう。 このとき商に関しては多項式 Q(x) になることしか分からないが, 余り R は deg R < deg(x - a) = 1 なので, R は定数にしかならない。 即ち除法定理から P(x) = (x - a)Q(x) + R, R は定数 と書けるわけ…